Absolutstetigkeit und Ordnungsabsolutstetigkeit von by Frank Räbiger

By Frank Räbiger

Die vorliegende Arbeit gibt eine Einfuhrung in das Konzept der Absolutstetigkeit von Operatoren. Hierbei handelt es sich um eine Erweiterung des klassischen Absolutstetigkeitsbegriffes bei Massen auf Operatoren zwischen Banachraumen. Beispiele machen den Leser mit diesem Konzept zunachst vertraut. Die Entwicklung einer Dualitatstheorie erlaubt eine Charakterisierung der Absolutstetigkeit in der Sprechweise von Operatorenidealen. Hieraus folgen in einfacher Weise Erblichkeitsaussagen fur absolutstetige Operatoren. Anwendungen in der Interpolationstheorie fuhren auf neuartige Ergebnisse uber die Struktur von Interpolationsraumen und das Erblichkeitsverhalten interpolierter Operatoren. Fur Operatoren auf Banachverbanden ist die Ordnungsabsolutstetigkeit die adaquate Erweiterung der Absolutstetigkeit bei Massen. Eine zu diesem Konzept entwickelte Dualitatstheorie ist der Schlussel zu Erblichkeitsaussagen fur ordnungsabsolutstetige Operatoren. Entsprechende Ergebnisse fur linear und nichtlinear majorisierte Operatoren sind hierin als Spezialfalle enthalte

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Also existiert V1'?. h. x liegt in (Xo,X1)g,h,E· Andererseits gilt für m > n 2: n 0 und jedes r E N r II V ki(Xn- Xm)IIE :5 llxn- Xmllg,h,E < e. 1=1 Betrachten wir wieder den Grenzwert für m gegen Unendlich, so folgt hieraus r II Vki(Xn- x)IIE :5 t:. _1 für jedes n 2: no. 2 der Rawn (X0 ,XI) 9 ,h,E durch einen Interpolationsfunktor erzeugt wird. 3 Theorem. Es sei (X0 ,X 1 ) ein Interpolationspaar. Weiter sei (g, h) ein InterpolationsparameterbezüglichE und E besitze die schwache Fatou-Eigenschaft oder habe ordnungsstetige Nonn.

2), so ergibt sich -62- Absolutstetigkeit und Ordnungsabsolutstetigkeit von Operatoren 63 für jedes y E Yo + Y1 und alle n E N. TIII). Dies beweist die Aussagen a) und b). Als nächstes bestimmen wir die charakteristische Funktion f/>g,la,E des Interpolationsfunktors X 9 ,1a,E· Es sei Xo = {R und X1 = 77R für {, 77 > 0. 2) definiert. Für jedes n E N gilt kn(1;g,h) = inf{isi{XAnU + lti77XAnh: s +t = 1, s,t ER} = inf{r{XAnU + (1- r)'lXAnh: 0::::; r::::; 1} = ({XAnU) A ('7XAnh), wobei die letzte Gleichheit aus der in jedem Banachverband F geltenden Beziehung x A y = inf{rx + (1- r)y : 0 ::::; r ::::; 1} für x,y E F+ folgt.

1) zurück. 5) IITxll 5 IIRxllp( ~1 i: 1~) (dabei setzen wir IIRxllp(l~i:ll) für jedes xE E = 0 falls IIRxll = 0 ist). 5) möglich ist. p: R+--+ R+: t 1-+ infe>o t/J(e)t + e. p (S, R) gilt, wenn für x E E s JIRxll > 0 falls IIRxJI = 0. p sind in dem nachfolgenden Lemma zusammengefaßt. 6) definiert. 5 Lemma. a) p ist stetig in Null mit p(O) = 0. b) limt ..... 00't- 1 p(t) < 00. c) sup{p(s): 0 ::=; s ::=; t} < oo für jedes t ~ 0. p(t, 1). 1 a),b). Die Aussagen b) und c) ergeben sich leicht aus der Definition von p.

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