Analysis in Dimension 1: Eine ausführliche Erklärung by Matthias Moßburger

By Matthias Moßburger

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14: f ist stetig, aber f −1 unstetig Sind Wurzelfunktionen stetig? 14 erkennt. Wenn jedoch die Definitionsmenge Df keine L¨ ucke hat, dann ist f −1 stetig. Das liegt letztlich an einem engen Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Monotonie: ucken, f ist stetig und f −1 existiert. 15: Der Wert f (b2 ) wird nach dem Zwischenwertsatz im Intervall [ a , b1 ] ein zweites Mal angenommen, was der Existenz von f −1 widerspricht. 17. Es sei f : [ c , d ] −→ Wf stetig und bijektiv. Dann ist f streng monoton.

3. Reelle Zahlen 27 Ein weiteres Beispiel: ¬(∀ ∈ R+ ∃ N ∈ N ∀ n > N : |xn | < ⇐⇒ ∃ ∈ R+ ¬(∃ N ∈ N ∀ n > N : |xn | < ⇐⇒ ∃ ∈ R+ ∀ N ∈ N ¬(∀ n > N : |xn | < ⇐⇒ ∃ ∈ R+ ∀ N ∈ N ∃ n > N : ¬(|xn | < ⇐⇒ ∃ ∈ R+ ∀ N ∈ N ∃ n > N : |xn | ≥ . ) ) ) ) Diese Aussagen bedeuten jeweils die Wertemenge von f ist nicht ganz R“ bzw. ” ur die Umformungen unwichtig. (x ) ist keine Nullfolge“ (s. 1); aber das ist f¨ ” n n Umformen“ bedeutet, dass man von einer Aussage A zu einer Aussage B u ¨bergeht; ” A ⇐⇒ B“ bedeutet, dass A genau dann gilt, wenn B gilt; in so einem Fall sagt ” man auch, A und B sind gleichwertig bzw.

Ben¨otigt. 1. Die Anordnung sch ” < “ ist transitiv: sch sch sch (xn )n < (yn )n und (yn )n < (zn )n =⇒ (xn )n < (zn )n . Außerdem ist sch ” < “ vertr¨ aglich mit ” +“ und ” ·“ : sch sch sch (xn )n < (yn )n und (rn )n ≤ (sn )n =⇒ (xn + rn )n < (yn + sn )n , sch sch sch sch sch 0 ≤ (xn )n < (yn )n und 0 ≤ (rn )n < (sn )n =⇒ (xn rn )n < (yn sn )n . Beweis. 7 ist zu zeigen: ∃ N ∈ N ∀ n > N : x n < zn . 4. S¨atze u ¨ber Folgen 31 Nach Voraussetzung gibt es K, L ∈ N (die verschieden sein k¨onnen) mit ∀ n > K : x n < yn und ∀ n > L : yn < zn .

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